風險決策的兩個理論: 期望值 & 期望效用

 

在風險決策的領域上，有三大基礎理論：

• 期望值理論 (Expected Value Theory)
  
• 期望效用理論 (Expected Utility Theory)
  
• 展望理論  (Prospect Theory)
  

展望理論優化了期望效用理論，是被認為最貼近人類真實的風險決策流程。

以下是其餘兩個風險決策的理論：期望值理論 (Expected Value Theory) 和期望效用理論 (Expected Utility Theory) 的簡介。

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期望值理論 (Expected Value Theory)

假設人是理性而且對風險的態度是中立（即：對風險，沒有規避也沒有偏好）。人於決策時，會採納期望值較高的選擇。

基本計算公式：

       期望值 = 期望 × 價值        Eq. (1)

期望也可視為機率；即：機率愈高，期望愈高。對同等價值的選擇，機率較高的，得出來的期望值自然較高，人們也會選擇它 。

 

運用 ：

如要計算某交易的期望值，計算上應把獲利期望值減去付出期望值：

       期望值 = （期望獲利機率 × 期望獲利金額）- （損失機率 × 付出金額）      Eq. (2)

在思考是否值得做該交易時，可以衡量計算出來的期望值，是否高於自己的閥值 (Threshold)。當然，負期望值的交易是不應做。

 

當要計算投資組合 (Portfolio) 的總期望值時，可把各資產的期望值加總，得出的總和，便是總期望值：

     期望值 = ∑ [ (期望獲利機率 × 期望獲利金額) - (損失機率 × 付出金額)]       Eq. (3)

 

當要比較交易 A 和交易 B 時，用 Eq. (2) 來計算各自的期望值，透過比較，挑選較高的交易：  

      交易 A 期望值     vs     交易 B 期望值   

而比較不同的投資組合 (Portfolio) 的總期望值時，道理也是一樣，只是用 Eq. (3) 來計算各自的總期望值來比較：

      組合 X 總期望值     vs     組合 Y 總期望值  

投資者應該選擇總期望值較高的組合。

 

筆者在 機率忽視偏誤 (2): 投資上的偏誤 中也有提及。

 

 

 

期望效用理論 (Expected Utility Theory)

假設人是理性，但對風險的態度是風險規避 (loss aversion)。在決策時，追求的是「效用」最大化。

所謂的「效用」是指個人主觀衡量的快樂程度（例如：滿足感、消費時的興奮等），所以效用本身是因人而異。著重滿足個人感受，而非單看價值、金錢本身。

計算公式如下：

       期望效用值 = 期望 × 效用                        Eq. (4)

把所有每個發生的機率 (pi) 和效用結果 U(∙) 的乘積再加總，W 是現時財富，便可得出期望效用值 (expected utility value) 的模型 Eq. (5) 是：

                 

                   where Pi is probability; W is present wealth; xi is outcome.

 

 

最簡單的效用差異例子是 (Given: W = $0)：

例子 (1)：以下 A 和 B，只能二選一，你認為哪個會較多人選擇？

A: 50% 可以獲得 $10,000 ；50% 獲得 $0;

B: 100% 獲得 $5,000 

計算 A，B 的期望效用值，50% 獲得 $10,000並非等於 100% 獲得 $5,000 期望效用值，而是少於。

雖然依據期望值理論 (Expected Value Theory)， A和 B 的期望值是一樣，選擇 A和 B 的人數理應差不多，但因為有確定效應 (Certainty Effect)， 100% 機率可獲得 $5,000 的效用（即帶來的快樂感）比 50% 可以獲得 $10,000 的效用為高。所以，

0.5 × U(0+10000) + 0.5 × U(0+0)  <  1.0 × U(0+5000) 

亦即，B 的期望效用值是高於 A，這解釋了大多人也會選 B 的原因。也就是說，$10,000 的 50% 並非等於 $5,000。

期望值 vs 期望效用

兩個理論的最主要分別在於：

• 決策時，期望值理論的考慮純粹只是機率與價值的乘積 ---期望值。哪個選擇能給予較高的期望值，便選哪個。
• 而期望效用理論考慮的「效用」"Utility"，則不只是機率與價值的乘積，而是加入了人的主觀心理影響下的效用，例如：某選擇能令自己有愉快心情、滿足感。當人認為這些主觀心理因素能造成的期望效用值高於其他選項時，即使期望值是一樣，人也會選擇能令自己愉快的哪一個。

在股市或投資上，我們最要防避的就是自己的主觀心理或偏誤，而導致有扭曲的期望效用值。所以，最好還是用期望值理論來思考風險，即：機率和價格。千萬不要用期望效用理論來考慮。

然而，期望效用理論是較適合用於人生的重大決定，如：結婚、生小孩、移民、等。

以下是期望值理論的應用：

投資策略 | 投資組合的期望回報

期望值理論: 投資額計算

 

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