The Price of Wisdom - 高山雪 Snow Hill

Benjamin Graham  將股票投資比喻為投票機器，而凱因斯  John Maynard Keynes  則將股票投資比喻為選美投票。 凱因斯選美 某遊戲：選美投票人要從 100 張照片中挑選最美的 6 位，而選出的最接近平均的便可得獎。 凱因斯說：「這時候，投票人選的不是自己認為最美的 6 位，而是選擇其他投票人最有可能認為是最美的 6 位。因為每個人想法不一，問題不在於你的最佳判斷（不是你自己認為哪 6 位是最美），也不是普羅大眾一般認為哪 6 位是最美，而是在於 預測平均的其他 投票 人的平均預測 （即： 預測 ， 其他 投票 人預測的平均預測結果的平均 ）。」這是 第三層思考 。

在不確定性情況下，機率應該怎樣判斷？ 我在＜ Subjective Probability Estimation ＞一文已寫過就主觀機率，如何 optimise 優化、calibrate 校正、mindful of hypothesis 警惕假設、error  budget 預留錯誤空間、quantify verbal expression of probability 量化人們的語言上的真正機率、clarify 澄清機率。

  捷思 (Heuristics) 捷思是指在未能掌握資訊的情況下，卻沒有頭緒，但又要做判斷，為了解決問題，人類會利用某種思維方式來對機率和頻率作判斷。 這種思維方式是一種思考捷徑 (mental shortcut) ，被稱為 「捷思」 。簡單來說， 捷思是一種直覺判斷。 常識是一種即時的直覺，直接地浮現腦海，不需思考，所以 常識也是捷思的一種 。 透過捷思而作出的判斷，經常與客觀的機率判斷，相差甚遠。例如，強烈情緒造成的情緒加權，而導致客觀機率大大被扭曲，這就是「 機率忽視偏誤 (Probability Neglect) 」。 所以，在不確定性高的情況下作決策時，必須要計算客觀機率，再用機率作預測。有些人會認為捷思是一種思考陷阱。大部分時候，人都會用某種捷思來做判斷。而 捷思伴隨的是「偏誤」(Biases)。

在美國，一電視遊戲節目，遊戲內有三扇門：X、Y、Z。獎品是放在其中一扇門後，任你隨意選擇。假設你選擇了 X 門。那個節目主持人是事先知道獎品是放在哪扇門後，他在未揭曉前開了 Z 門，門後沒有獎品。現在主持人給你一個機會，問你：「是否要換門？」。那你應該是換門還是不換門呢？

  ＜ 有限理性：行為經濟學入門首選＞，作者：友野典男 作者友野典男在書中寫出行為經濟學的原由、重點、理性決策的困難、捷思與偏誤、展望理論、機率的誤解。我在 2021 年已看畢這本書，我認為友野能把較複雜的展望理論、貝氏定理、賽局理論、機率和捷思簡化，及用淺白的數學來解釋這些理論是我非常欣賞的地方。 這本書能協助讀者快速拿揑何為 捷思與偏誤 ，如何避免用捷思與偏誤來作決策，明白應該如何運用機率來正確思考。所以，如果你是對行為經濟學有興趣，又想明白一些基礎知識，我是十分推薦這本書。 我會把這個題目分為五部分： 我的書架 | 有限理性 (1): 機率究竟怎理解？ 我的書架 | 有限理性 (2): 捷思 (Heuristics) 與偏誤 (Biases) 我的書架 | 有限理性 (3):  框架效應 (Framing Effect) 我的書架 | 有限理性 (4): 心理帳戶 (Mental Account) 我的書架 | 有限理性 (5): 雙曲折現 (Hyperbolic Discounting)與現時偏誤 (Present Bias) 機率思維 | 蒙堤霍爾困境 (Monty Hall Problem) 至於 展望理論 和 貝氏定理 ， 可以看我的其他文章。 =============================== 機率的誤解 背景 ：Peter 家中有兩個孩子，但你不知道是男是女。 問題 1 - 3 的背景 相同 --------------------------------------------- 問題 1： 某天，你問 Peter：「 你家 有女兒嗎 ？ 」，他答：「有」。那你估計 Peter 的另一個孩子也是女兒的機率是多少？ 誤解： 很多人會認為另一個孩子也是女兒的機率是 1/2，因為世上只有男或女的兩個生理性別。 答案： 正確的機率是 1/3。 解釋： 列出兩個孩子的男女組合：女女、女男、男女、男男。各有 1/4 的出現機率。 從 Peter 提供的資訊：「你家有女兒」，那麼「男男」的出現機率 = 0，我們便可以把它刪掉。剩下來的可能組合是：女女、女男、男女，各出現機率 = 1/3。 -------------------------------------------- 問題 2： 某天，你問 ...

在 < 貝氏定理 (7): 事後機率分布最大概似估計法 (Maximum a Posteriori Estimation, MAP) > 中，我已經介紹過如果是 continuous distribution 的話是怎樣找到 Posterior Probability。

    在< 貝氏定理 (5): 貝氏更新 (Bayesian Updating ) >中，我巳說過 Bayes rule 的公式是： 如設： D = y ; H =𝜭，那麼 Eq. 1 便轉為 Eq. 2：

在  < 機率思維 | 貝氏定理 (1): 理論 (Bayesian Theorem) > ，我們知道不同的人面對一樣的消息，有著不一樣的信念；而基於不同的信念，我們應該怎樣去投資而不會有太大的損失呢？   我們 在決策時 ，務必要 用最少的資金，把期望值最大化。 我在 < 風險決策的兩個理論: 期望值 & 期望效用 > 已列出過以下公式及計算概念：           期望值 = 機率 × 價值                     Eq. (1)        總期望值 = ∑ 機率 × 價值              Eq. (2)          where 價值   (V) = 收益 (E) - 本金 (C)  亦即是：                            總期望值 = 贏的期望值 - 虧的期望值                  Eq. (3)    值博 的 總期望值 ≥  $0  即是要： 總期望值 ≥   $0         ⇒    贏的期望值 > 虧的期望值   風 險較低 的 總期望值  ≥   本金 ...

聯合機率 Joint Probability  如果 X 的發生是需要有 A 和 B 的出現，那就是：            P(X ) = P(A, B) 如果：  A  = {a1, a2, a3}； B  = {b1, b2, b3} 那麼： P(A, B) =  {P(a1, b1), P(a1, b2), P(a1, b3), P(a2, b1), P(a2, b2), P(a2, b3), P(a3, b1), P(a3, b2), P(a3, b3)}

Continuing from the previous article < Subjective Probability Estimation >, a nother thing we should deal with caution is other peoples' subjective probability. Clarifying Expert's Estimation As mentioned, we should understand what people mean when they speak "chance" - a descriptive probability.  If an expert or a consultant says his estimation for a possibility of an event happening is "more likely", you have to be very cautious about this word, and should seek further clarification by what does he mean by that. Because you will never know if there is any difference between your understanding about "more likely" and his. If you don't clarify, you'll never know.   You can guide him through the following example conversation. You should start from the average and guide him through by questions: You: Would you say it is 50%? Expert: No, more than that. I said it is more likely. You: 70%? Expert: I would say it is a bit more than 70%. Y...

機率分布大致有兩類：離散型 Discrete Distribution，和連續型 Continuous Distribution。離散型分布是指獨立離散的機率，而連續型分布是指機率是無縫緊連地出現。 例如： 離散型分布 ：P(10) = 0.16 連續型分布 ：P(10-20) = 30 離散型分布 ，包括：伯努利分布 Bernoulli Distribution、二項分布 Binomial Distribution、卜瓦松分布 Poisson Distribution。 我會在本篇文章簡述離散型的機率分布。

在不確定情況下，我們可以利用 Principle of Insufficient Reason  來先進行平均機率假設，即：把每個「假說 Hypothesis」 的 Prior Probability 假設為一樣的平均機率，再計算 Posterior Probability (事後機率分佈)。 如有 N 個假說 Hypothesis ，它們各自的 Prior Probability  便假定為 1/N 。 然後把新資訊納入計算，把第一次計算出來，每個 Hypothesis 的 Posterior Probability 變成下次更新的 Prior Probability，再計算每個 Hypothesis 的新的 Posterior Probability。如此類推，一直更新。這就是「 貝氏更新 (Bayesian Updating) 」。

In this article, we will continuously go through Mr K's decision making process in Example 4 in < Decision Tree > by examining his risk tolerance. Risk Tolerance Risk tolerance is the willingness of a person to take risk for better consequences. It means how the person weigh the downside of the consequences as compared to the upside, i.e. how significance of the downside of the consequences he would be impacted?  Most   risk averse people will weigh the downside (loss) heavier than the upside (gains), even the probability for both sides are equal.  Risk tolerance is a crucial factor to determine the diversification of an asset portfolio, which also is an attribute to tradeoff of risk/return. So, understanding the role of risk tolerance  is important not only for making daily decisions but also beneficial for making investment decisions.  

In the previous article < Subjective Probability Estimation >, I have mentioned the difficulty in assigning chance for decision making. One of the crucial tools I mentioned is to the Principle of Insufficient Reason (also known as Principle of Indifference ) to assign probability of events in the absence of knowledge about the situation.   

Decision Tree Another way to present the consequences together with probabilities and outcomes is decision tree . A decision tree can be a more efficient representation of the present uncertainties, alternatives and consequences than a consequence table.  When drawing a decision tree, using quantitative measures, the hardest part is how to assign chance (probability) because it involves a high degree of subjective probability estimation   where it is easily affected by heuristics and biases .     

This article is an elaboration on assigning chance subjectively - the hardest bit for many people - in the article < Uncertainty and Chance >. This article is by no means serves as a deep-dive about risk or whatever, it is about pointing out which parts of chance assignment is hard and how to resolve them.  

A good quote from the book of Smart Choices, "The quality of our decision making is not judged by the quality of consequences." The authors put it, you may end up: A smart choice, a bad consequence : the decision is fine, but it is only things happen. The rare bad case scenario happens which ruins the result. How do you know the rare bad thing could happen before make the decision? We never know! This is uncertainty. A poor choice, a good consequence: even the decision is poor but outcome is good, it is just because of luck.  Once you have made the decision right, the outcome may be subject to uncertainties.     What uncertainty means to us? The authors put it: " you may know what might happen, but you won't know what will happen ." This is because of uncertainty .  Uncertainties can be arisen from:  (a) information/ data uncertainties,  (b) model uncertainties,  (c) calculation/ mathematical uncertainties,  (d) result/ outcome uncertaintie...

不確定時 如果在完全沒有資料和數據下，我們唯有用自己的 本能 (instinct) 或 直覺 (gut feeling) ，作最合理的決策。因為有時有些事情，人的腦子不能逐一拆解，但能記下那複雜系統引伸的後果或記下用來處理的手法，這就形成了人的本能 (instinct) 或 直覺 (gut feeling)。這套思考習慣、捷徑又叫「捷思 Heuristic」。 Gerd Gigerenzer 提倡用直覺來解決複雜系統內的問題。例如：攬球員是用凝視捷思 Gaze Heuristic 來接下飛來攬球，而非運算那複雜數式來計算飛球的軌跡。所以在決策上，要善用自己的本能或直覺。 筆者要強調 用 直覺 進行的決策， 只限於 : 1) 高不確定性 high uncertainty 而 時間緊迫 時使用， 而非 在有明確數據資料顯示是高風險 high risk 又時間充裕時使用。因為如數據資料清晰，而後果又影響深遠時，我們必須經過適合思維模型進行理性分析、估 算 可能 和 最有可能 出 現的後果，判斷風險及自己的承受範圍後, 才可以下決定。相反，如要做出 即時決定 ，我們只能靠自己的直覺 (Heuristics) 作最快的計算來得出結果。 2) 樣品數量太少，不夠代表性 時 (Number of samples is too small to be representative)。因為數量太少我們不能依賴數據分析，得出 statistical significant 的機會率來協助做決定。在 沒有曆史數據或太少數據 的情況下，我們只能夠用 Uniform Distribution 來形容機率分布。亦即是說，假定是相同機率。Refer to < Principle of Insufficient Reason > 要知道， 可思考的時間愈短，犯錯的機會愈高 。因為時間充裕，你可以反覆思考關鍵條件，例如，需要甚麼的條件會導致災難，甚麼條件會是成功？那你可以轉注那些關鍵條件的出現。但若然要當下做 即時決定 ，可用 直覺 並以 保守 為原則來作決策。(保守的意思是盡量減低風險。) 若要運用到捷思來做即時決策時，最好要假設這個決策有佷高可能性會出錯，想像其後果，自己能否承受？若非，最好還是 Status quo。 即時決策可能只有數分鐘內便要下決定，請不要在這類性況下，作重...

風險是什麼？ Howard Marks 在他的<投資最重要的事＞書中已定義為：永久損失資本的機會。即是：風險是長期虧損的機率，並非計算 Sharpe ratio 時用作代表風險的 volatility 波動（即以標準差 standard deviation來代表）。這個概念，筆者認為已經是很多人都懂的事。當然還有其他風險，如低流動性風險 liquidity risk，信貸風險 credit risk，等。 筆者會另發文 。 風險是在於 巨大的損失機率 ，而損失機率是來自兩種情況： （1）在已知的分佈（即波動範圍）內的負回報的機率，是已知有可能發生的情境，但不知那分佈的歪斜度 (skewness) 有多少？向什麼方向歪斜？因為是已知，某程度上，是可控的風險。 （2）是完全的「 未知 uncertainties 」。所謂「 未知 」是根本沒有機率可言，因為根本不知是什麼事情、沒有過往歷史數據、不知何時會發生、也不知影響有多大多深遠。而市場上的所謂「預測」，是基於過往數據對已知、已有的事情作預測，本身已經有某種可預期性，問題只是用數學模型基於過往數據做預測本身，因變項太多而欠缺準確性。 對筆者而言，真實的風險是「 未知 uncertainties 」。因為未來是未知。未知是什麼？是未知道的事。既然是未知道的事，即是：我無法控制的「不可控」。但我真正關心的是，未來的未知能否令我有 巨 大的損失 ？這個未知是什麼，我倒沒時間去在乎。換言之，是管好可控的「不可控」。 而是否出現大規模的損失就在於你有沒有為「最差的未知」的出現而有所準備？即： 為「最差的未知」設一個「底」 。也就是說，將自己策略性地放在一個對自己較有利的位置（更好的是， 在任何情況下，也讓自己處於一個對自己較有利的位置 ）。例如「即使 xxx 出現，我的組合也可以達到某預期回報」；即使 xxx發生，我會做 yyy，等。用預先安排的對策，來穩住自己情緒。這些準備，便是 風險處理 。

筆者認為在貝氏定理的更新過程中發覺，最困難的部份是找出可能性 (Likelihood)！因為 Prior probability 還可以用 Base Rate 來找，但 Likelihood 就不能。所以，本篇文章就用來看看怎樣科學化地，從頻率算成 可能性 ？ 其中一個方法是： Likelihood Estimate using Binomial distribution。  Photo by Joey Kyber from Pexels