展望理論 Prospect Theory (2): 機率加權函數 (Probability Weighting Function)
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展望理論中的基礎模型：
展望理論數值 (PT value) =
在模型中的兩大函數是來自展望理論中的兩大核心理論：一、是價值函數 v(x)；二、是機率加權函數 w(P)。
在上一篇文章，筆者巳解釋了價值函數，讀者可看： 展望理論 (1): 價值函數。現在主要集中篇幅在機率加權函數上。
機率加權函數
在實際生活中，人們不會將機率視為數值，只會看 P = 1 時是必然發生，而 P = 0 時是必然不會發生；但在 0 < P < 1 時，人們便常用捷思直覺 (heuristic) 來判斷機率或發生的頻率，也就是說，即使機率只有1/10，但人們內心感受到的機率是多於 1/10 或少於 1/10 ，這就是機率加權，而最終形成偏誤 (bias)。
筆者在上一篇文章已說過，在展望理論用的機率，就是這個加權後的機率，跟期望效用理論中的機率不同。
機率加權函數 (probability weighting function, w(P)) 是展望理論中的第二核心模型。所謂「加權」是指人們要把客觀的真實機率增加或減少多少才會接受。機率加權函數是把人們加權後的機率量化出來，是主觀性強的機率。
客觀的真實機率： P + (1 - P) = 1
但是，主觀加權後的機率： w(P) + w(1 - P) < 1
機率加權函數：原始數學模型
在原始模型，𝜹 = 0.65：
那麼，每個客觀真實機率 P，可以計算出其相應的主觀機率加權函數 w(P)。假設，w(0) = 0; w(1) = 1，然後將機率加權函數 w(P) vs 客觀真實機率 P，那麼便可以得出下圖 Figure 2。
實線 (solid line)： 𝜹 = 1，是指沒有加權的機率，是真實的線性關係。
虛線 (dashed line)： 𝜹 = 0.65，是指機率加權函數與客觀真實機率的非線性關係 ，呈現一個倒轉 S 形態 (inverse S-shape) 非線性加權關係 (non-linear weighting)。
從虛線分佈，可以觀察到：
- 在 35% 機率時 (P = 0.35)，就是機率加權函數與客觀真實機率的交接點 (intersection point)，亦即只有在這機率時，人們沒有加權：P = 0.35 = w(0.35)。
- 機率由 0 開始增加至 0.35，虛線是往上凸，即是：當低機率時，人們普遍是高估了發生機率。
- 機率從 1 開始減少至 0.35，虛線是往下凹，即是：而在高機率時，人們往往卻低估了發生機率。
- 在 35% 機率的左右兩邊，曲線弧度 (curvature) 減少和放平緩，在接近 P = 0 和 P = 1 的兩端，曲線斜度增加。這表示人們在交接點附近和中度的機率的敏感度較低， 在高或低的機率的敏感度較高。正如，由 0 變 0.1 或 0.9 變 1.0，對我們的心理影響比起由 0.3 變 0.4 或 0.5 變 0.6 為高。也就是說，人們往往對極高或極低的機率進行「過度加權」 (over-weighs the tails of distributions)。
- 而這個「過度加權」的程度是因人而異，這是由 𝜹 的數值來模型。 𝜹 的數值愈低，過分加權的程度愈嚴重。且看另一條虛點線 (dashed dotted line)。
虛點線 (dashed dotted line)： 𝜹 = 0.4，在接近 P = 0 和 P = 1 的兩端，曲線斜度比虛線 (𝜹 = 0.65) 厲害。過度加權的嚴重程度，可以在 P 由 0.99 去 1.0 和由 0 去 0.01 的曲線看出。另外，在這虛點線上的交接點有向下移的情況。而且中等機率的放平程度比虛線 (𝜹 = 0.65) 更平，即是在中等的機率的變化更不敏感，例如看 P = 0.3，0.4 或 0.5 的機率是差不多。
- 在心理強烈時（例如事件剛發生、事件影響巨大且久遠），機率加權會較嚴重，即：距離沒有加權的直斜線也較多，如：𝜹 = 0.4。
- 在心理影響較弱時，機率加權也較輕微，距離沒有加權的直斜線也較少，如：𝜹 = 0.65。
這跟筆者之前的文章 ＜機率忽視偏誤(1) (Probability Neglect)＞中的情緒加權同出一源。
機率加權函數：獲利和損失時的不同模型
機率加權函數的模型是分別在獲利和損失時計算，因為人會在不同情緒、情景（獲利和損失的情景）下調整機率加權，所以模型中的係數（𝜹 和 𝛄）也需要調整。也所以在不同情景下得出的機率加權函數會不一樣的。
Given: 𝜹 ∈ (0,1)； w⁺(0) = w⁻(0) = 0； 及 w⁺(1) = w⁻(1) = 1
在獲利時，機率加權函數模型：
在損失時，機率加權函數模型：
- 在低機率時，一般是高估低機率；
- 在極低機率時，更是過度加權。
- 所以，在極低機率時， w⁺(P) > P； 及 w⁻(P) > P。
在上一篇文章，我們已經看過，在高機率情景下：
- 在損失時，人會較偏好風險 (Risk seeking)；
- 在獲利時，人會較規避風險 (Risk aversion)。
請看以下例子 (10) 和例子 (11)的極端高機率和極端低機率比較：
例子 (10)：
A: 0.1% 可以獲得 $5,000 ;
B: 99.9% 可以獲得 $5
例子 (11)：
C: 0.1% 可以損失 $5,000 ;
D: 99.9% 可以損失 $5
在例子 (10)，多數人會選 A；在例子 (11)，多數人會選 D。如果用期望效用理論 (Expected Utility Theory) 來解釋，這就是：
- 在獲利時，例子 (10)：0.001 ∙ U(5000) + 0.999 ∙ U(0) > (0.999)∙ U(5) + 0.001 ∙ U(0)
- 在損失時，例子 (11)：0.001 ∙ U(-5000) + 0.999 ∙ U(-0) < (0.999)∙ U(-5) + 0.001 ∙ U(-0)
這說明，縱使在同樣的效用值 (5) 或 (-5) 來說，人們對風險的態度除了會隨著獲得或失情景改變而改變，也會隨著機率的不同而變動。
在低機率情景下：
- 在獲利時，人會較偏好風險 (Risk seeking)：選擇 A，0.1% 獲得 $5,000
- 在損失時，人會較規避風險 (Risk aversion)：不選擇 C，0.1% 損失 $5,000
在高機率情景下：
- 在獲利時，人會較規避風險 (Risk aversion)：不選擇 B，99.9% 獲得 $5
- 在損失時，人會較偏好風險 (Risk seeking)：選擇 D，99.9% 損失 $5
解釋：
在獲利時：
- 在獲利時，如機率低，人會希望避免失去可能得到的潛在得益 (害怕失去的loss aversion)而選擇一些風險較高（即：成功機率較低）的選項，即是：風險偏好 (Risk seeking)。所以選擇 A：0.1% 獲得 $5,000。
- 但如果機率高到接近穩賺 (P ⇾ 1.0) 的時候，也是因為害怕失去的 loss aversion，人會規避風險 (Risk aversion)，而不選擇一些風險較低（即：成功機率較高）但利益也較低的選項，因為害怕失去巨款帶來的痛苦感覺比獲利小額款項的快樂感覺高出 2 至 2.5 倍。 所以不選擇 B：99.9% 獲得 $5。
相反情況，在損失時：
- 如機率低，人會因為要避免承受潛在損失的痛苦 (loss aversion)而不選擇一些風險較低（即：損失機率較低）但損失較高的選項，即是：風險規避 (Risk aversion)。所以不選擇 C：0.1% 損失 $5,000。
- 但如果機率高到接近穩賠 (P ⇾ 1.0) 的時候，也是因為害怕失去的 loss aversion，人會變得風險偏好 (Risk seeking)，而選擇一些風險較高（即：損失機率較高）的選項，例如在賭場中 "all in"。所以選擇 D：99.9% 損失 $5。
展望理論：有效捕捉風險決策行為
在獲利時，機率加權函數模型：𝛄 =0.61
選項 A : 0.1% 可以獲得 $5,000 ⇒ 意味著：否則，99.9% 獲得 $0
選項 B : 99.9% 可以獲得 $5 ⇒ 意味著：否則，0.1% 獲得 $0
展望理論數值 (PT value) 的比較，A 的 PT value 比 B 的為大 (25.99 > 4.023)，所以多數人會選擇 A。
在損失時，機率加權函數模型：𝜹 = 0.69
選項 C : 0.1% 可以損失 $5,000 ⇒ 意味著：否則，99.9% 損失 $0
選項 D : 99.9% 可以損失 $5 ⇒ 意味著：否則，0.1% 損失 $0
在損失下，展望理論數值 (PT value) 的比較，C 的 PT value 比 D 的為少 (-34.07 < -9.164)，所以多數人當然會選擇 D。
從以上的計算中，可以看到：
1. 不論是在獲利或損失時，機率加權函數也高估了 P= 0.001；低估了 P= 0.999；- 在極低機率時， w⁺(P) > P； 及 w⁻(P) > P：高估低機率 ⇒ 樂觀偏誤。
- 在極高機率時， w⁺(P) < P； 及 w⁻(P) < P：低估高機率 ⇒ 消極偏誤。
相關文章：
展望理論 Prospect Theory (1): 價值函數 (Value Function)
展望理論 Prospect Theory (3): 確定效應 (Certainty Effect)
展望理論 Prospect Theory (4): 參考點的影響 (Reference Point Influence)
展望理論 Prospect Theory (5): 如何應用在股市
展望理論 Prospect Theory (6): 股市應用 --- 違反人性的風險決策
References
Nicholas Barberis, Abhiroop Mukherjee, Baolian Wang, Prospect Theory and Stock Returns: An Empirical Test, The Review of Financial Studies, 2016, 29, (1), 3068-3107)
Nicholas C. Barberis, Thirty Years of Prospect Theory in Economics: A Review and Assessment, Journal of Economic Perspectives, 2013, 27, (1), 173–196
Nicholas Barberis and Ming Huang, Stocks as Lotteries: The Implications of Probability Weighting for Security Prices, American Economic Review 2008, 98, (5), 2066–2100.
友野典男，有限理性： 行為經濟學入門首選，大牌出版。
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