The Price of Wisdom - 高山雪 Snow Hill

Benjamin Graham  將股票投資比喻為投票機器，而凱因斯  John Maynard Keynes  則將股票投資比喻為選美投票。 凱因斯選美 某遊戲：選美投票人要從 100 張照片中挑選最美的 6 位，而選出的最接近平均的便可得獎。 凱因斯說：「這時候，投票人選的不是自己認為最美的 6 位，而是選擇其他投票人最有可能認為是最美的 6 位。因為每個人想法不一，問題不在於你的最佳判斷（不是你自己認為哪 6 位是最美），也不是普羅大眾一般認為哪 6 位是最美，而是在於 預測平均的其他 投票 人的平均預測 （即： 預測 ， 其他 投票 人預測的平均預測結果的平均 ）。」這是 第三層思考 。

在不確定性情況下，機率應該怎樣判斷？ 我在＜ Subjective Probability Estimation ＞一文已寫過就主觀機率，如何 optimise 優化、calibrate 校正、mindful of hypothesis 警惕假設、error  budget 預留錯誤空間、quantify verbal expression of probability 量化人們的語言上的真正機率、clarify 澄清機率。

作者友野在書中用到「雙曲折現」(hyperbolic discounting) 來展現人對時間的感受或看法，是受到框架效應的影響，導致「時間不一致性」(time inconsistency)，形成「雙曲折現偏誤」。 意思是，人會因為時間的延遲，而把物件的價值評估得大大降低。 雙曲折現偏誤 的特徵是， 重視當前，寧願要現時較少的獲利，也不願等未來更大的利益 。

框架效應 (Framing Effect) 框架效應 就是指，當人們要決策或回答、分析問題時，人會 選擇把問題以某種方式呈現， 這 種呈現的方式或方法叫 做 「框架」(Frame)。 因為用了不同的框架，而導致我們對同一問題有不同的判斷，稱為「框架效應」 (Framing Effect)。 框架效應是以框架來限制人的注意力在框架以內 。

  捷思 (Heuristics) 捷思是指在未能掌握資訊的情況下，卻沒有頭緒，但又要做判斷，為了解決問題，人類會利用某種思維方式來對機率和頻率作判斷。 這種思維方式是一種思考捷徑 (mental shortcut) ，被稱為 「捷思」 。簡單來說， 捷思是一種直覺判斷。 常識是一種即時的直覺，直接地浮現腦海，不需思考，所以 常識也是捷思的一種 。 透過捷思而作出的判斷，經常與客觀的機率判斷，相差甚遠。例如，強烈情緒造成的情緒加權，而導致客觀機率大大被扭曲，這就是「 機率忽視偏誤 (Probability Neglect) 」。 所以，在不確定性高的情況下作決策時，必須要計算客觀機率，再用機率作預測。有些人會認為捷思是一種思考陷阱。大部分時候，人都會用某種捷思來做判斷。而 捷思伴隨的是「偏誤」(Biases)。

在美國，一電視遊戲節目，遊戲內有三扇門：X、Y、Z。獎品是放在其中一扇門後，任你隨意選擇。假設你選擇了 X 門。那個節目主持人是事先知道獎品是放在哪扇門後，他在未揭曉前開了 Z 門，門後沒有獎品。現在主持人給你一個機會，問你：「是否要換門？」。那你應該是換門還是不換門呢？

  ＜ 有限理性：行為經濟學入門首選＞，作者：友野典男 作者友野典男在書中寫出行為經濟學的原由、重點、理性決策的困難、捷思與偏誤、展望理論、機率的誤解。我在 2021 年已看畢這本書，我認為友野能把較複雜的展望理論、貝氏定理、賽局理論、機率和捷思簡化，及用淺白的數學來解釋這些理論是我非常欣賞的地方。 這本書能協助讀者快速拿揑何為 捷思與偏誤 ，如何避免用捷思與偏誤來作決策，明白應該如何運用機率來正確思考。所以，如果你是對行為經濟學有興趣，又想明白一些基礎知識，我是十分推薦這本書。 我會把這個題目分為五部分： 我的書架 | 有限理性 (1): 機率究竟怎理解？ 我的書架 | 有限理性 (2): 捷思 (Heuristics) 與偏誤 (Biases) 我的書架 | 有限理性 (3):  框架效應 (Framing Effect) 我的書架 | 有限理性 (4): 心理帳戶 (Mental Account) 我的書架 | 有限理性 (5): 雙曲折現 (Hyperbolic Discounting)與現時偏誤 (Present Bias) 機率思維 | 蒙堤霍爾困境 (Monty Hall Problem) 至於 展望理論 和 貝氏定理 ， 可以看我的其他文章。 =============================== 機率的誤解 背景 ：Peter 家中有兩個孩子，但你不知道是男是女。 問題 1 - 3 的背景 相同 --------------------------------------------- 問題 1： 某天，你問 Peter：「 你家 有女兒嗎 ？ 」，他答：「有」。那你估計 Peter 的另一個孩子也是女兒的機率是多少？ 誤解： 很多人會認為另一個孩子也是女兒的機率是 1/2，因為世上只有男或女的兩個生理性別。 答案： 正確的機率是 1/3。 解釋： 列出兩個孩子的男女組合：女女、女男、男女、男男。各有 1/4 的出現機率。 從 Peter 提供的資訊：「你家有女兒」，那麼「男男」的出現機率 = 0，我們便可以把它刪掉。剩下來的可能組合是：女女、女男、男女，各出現機率 = 1/3。 -------------------------------------------- 問題 2： 某天，你問 ...

在 < 貝氏定理 (7): 事後機率分布最大概似估計法 (Maximum a Posteriori Estimation, MAP) > 中，我已經介紹過如果是 continuous distribution 的話是怎樣找到 Posterior Probability。

賽局理論 (Game Theory) 賽局理論（又稱博奕論）是一個決策思考模型，適用於有兩個或多個對手在同一個 競爭 # 下的策略制定。而囚徒困境 (Prisoner's Dilemma) 是賽局理論中，一個最基本的 靜態競爭賽局 *  的思考模型。 *   靜態賽局 (Static Game Theory)  的意思是，競爭參與者皆不知道對手各自的選擇，所以是不受對方選擇影響，可以是一次性的同時行動 (one-off simultaneous actions)。 *   動 態賽局 (Dynamic Game Theory)  的意思是，是相繼或連續性或互動性的重覆行動 (consequential, sequential, or interactive repeated actions)。 #  所謂「競爭」便是賽局，又或所謂「賽局」便是競爭： 競爭 = 賽局 = 博奕  賽局的意思是，一個競爭參與者的選擇，要考慮另一個競爭參與者的選擇，而作出對自己最有利的決策。假設每個競爭參與者也希望把自己利益最大化。賽局理論就是幫助競爭者計算，如何把其他競爭者的選擇納入考慮，而選擇對自己最有利的行動。

    在< 貝氏定理 (5): 貝氏更新 (Bayesian Updating ) >中，我巳說過 Bayes rule 的公式是： 如設： D = y ; H =𝜭，那麼 Eq. 1 便轉為 Eq. 2：

在  < 機率思維 | 貝氏定理 (1): 理論 (Bayesian Theorem) > ，我們知道不同的人面對一樣的消息，有著不一樣的信念；而基於不同的信念，我們應該怎樣去投資而不會有太大的損失呢？   我們 在決策時 ，務必要 用最少的資金，把期望值最大化。 我在 < 風險決策的兩個理論: 期望值 & 期望效用 > 已列出過以下公式及計算概念：           期望值 = 機率 × 價值                     Eq. (1)        總期望值 = ∑ 機率 × 價值              Eq. (2)          where 價值   (V) = 收益 (E) - 本金 (C)  亦即是：                            總期望值 = 贏的期望值 - 虧的期望值                  Eq. (3)    值博 的 總期望值 ≥  $0  即是要： 總期望值 ≥   $0         ⇒    贏的期望值 > 虧的期望值   風 險較低 的 總期望值  ≥   本金 ...

聯合機率 Joint Probability  如果 X 的發生是需要有 A 和 B 的出現，那就是：            P(X ) = P(A, B) 如果：  A  = {a1, a2, a3}； B  = {b1, b2, b3} 那麼： P(A, B) =  {P(a1, b1), P(a1, b2), P(a1, b3), P(a2, b1), P(a2, b2), P(a2, b3), P(a3, b1), P(a3, b2), P(a3, b3)}

機率分布大致有兩類：離散型 Discrete Distribution，和連續型 Continuous Distribution。離散型分布是指獨立離散的機率，而連續型分布是指機率是無縫緊連地出現。 例如： 離散型分布 ：P(10) = 0.16 連續型分布 ：P(10-20) = 30 離散型分布 ，包括：伯努利分布 Bernoulli Distribution、二項分布 Binomial Distribution、卜瓦松分布 Poisson Distribution。 我會在本篇文章簡述離散型的機率分布。

在不確定情況下，我們可以利用 Principle of Insufficient Reason  來先進行平均機率假設，即：把每個「假說 Hypothesis」 的 Prior Probability 假設為一樣的平均機率，再計算 Posterior Probability (事後機率分佈)。 如有 N 個假說 Hypothesis ，它們各自的 Prior Probability  便假定為 1/N 。 然後把新資訊納入計算，把第一次計算出來，每個 Hypothesis 的 Posterior Probability 變成下次更新的 Prior Probability，再計算每個 Hypothesis 的新的 Posterior Probability。如此類推，一直更新。這就是「 貝氏更新 (Bayesian Updating) 」。

In the previous article < Subjective Probability Estimation >, I have mentioned the difficulty in assigning chance for decision making. One of the crucial tools I mentioned is to the Principle of Insufficient Reason (also known as Principle of Indifference ) to assign probability of events in the absence of knowledge about the situation.   

一些無形事件、事物的價值估算是很困難的，例如：精神折磨、時間損耗等是難以量化和估算。正如我在 < Trade-offs in Decision Making > 寫道，若要用 Cancel-out method 來抹去某考慮條件 (objectives or criteria) 的話，我們必須要學懂 Trade-off 「交換」這個概念。尤其在量化無形或有形事件、事物的價值時，人類會被很多因素、 捷思 、 偏 誤 所影響， 其中一個較少人被提及的是 匱乏度 scarcity ！即： 你 個人現時 的匱乏程度； 那 物件或事項 的匱乏程度。 第二點是指：一般來說，若某物件、資源、服務愈是匱乏 scarcity，其估值會愈高，因為供應量低，可擁有機會也小。 有時，這個物件、資源、服務的估值會跟其價值有矛盾，這也是經濟學家 Adam Smith 提出的 Paradox of Value: Diamond and Water。 Adam Smith 在他著作 ＜Wealth of Nations（國富論）＞寫道："Nothing is more useful than water, but it will purchase scarce anything"。鑽石比水對人類的生存或實用價值為低，但鑽石的價格卻比水高，這是因為：(i) 鑽石的匱乏程度高、(ii) 供應量低、(iii) Marginal Utility（邊際效用）。 邊際效用可用主觀效用值來解說，即：對你個人的滿足度。而這滿足度亦跟你個人的匱乏程度有關，牽涉 Law of Diminishing、Value of Use、Value in Exchange。 本文看的估值，不是從第二點的「物件或事項的匱乏程度」來評估，而是從第一點「個人現時的匱乏程度」。    究竟匱乏程度 Scarcity 如何影響價值估算？ 根據 Zhu & Ratner (2014) 的研究指出，  窮人在決定是否買一件物品時，他們 會用「交換」 Tradeoff 的思維來衡量 。他們會想：「如買了此物件，我將不能買別的物件」。 窮人的腦子會被一些迫切而且必要的支出擠滿，例如：腦子總是充斥著，公共服務、水電煤、租金、稅務、學費等的支出。 他們 因為資源匱乏，很容...

再平衡策略 (Rebalancing Strategy) 除了在＜ 用投資組合 (Portfolio) 的思維來降低風險 ＞提及的以 地區、行業、資產類型 來分散，而且盡可能有若干 負相關性 聯繫之外，還有一個很重要的分散要點是 時間 ！買入點和沽出點的時間分散。因為： (1) 在某時間點，你是不會知道那時候的股價是否最低，只能夠事後才知！ (2) 同一時間 ，過多的股票資產而過少的現金、外幣、債券、商品黃金等其他流動資產，是孤注一擲式的買大小的賭博行為，不是太理智。筆者喜歡穩健地慢慢致富。 筆者所謂的「投資組合思維」，是包含了風險、回報，即： 所能「預測」的期望風險 ，經 通脹調整後的回報 ，及自己 能力所及 的 分析與時間 付出的一個 總體平衡 的策略。而要保持投資組合的回報，就得要 靠定期再平衡 來維持。 這不是什麼嶄新理念，只是這個策略所得的利潤，較捕捉個別股票趨勢為少，而且不能迅速致富；也較沒那麼熱鬧，所以較少在媒體看到。 筆者認為要為再平衡預設一套策略，不但可以降低人類行為偏誤帶來的損失，而且也較為省時。以下是一些基礎知識。

筆者認為在貝氏定理的更新過程中發覺，最困難的部份是找出可能性 (Likelihood)！因為 Prior probability 還可以用 Base Rate 來找，但 Likelihood 就不能。所以，本篇文章就用來看看怎樣科學化地，從頻率算成 可能性 ？ 其中一個方法是： Likelihood Estimate using Binomial distribution。  Photo by Joey Kyber from Pexels

貝氏因子 (Bayes Factor) 貝氏因子 Bayes Factor 是等 同似然比率 Likelihood Ratio 。這個思考模型跟之前貝氏定理的文章內描述的思考模型是不同的。 從上兩篇 < 貝氏定理 (1): 理論 (Bayesian Theorem) > 文章中的 Bayes Rule 公式內 [Eq.(3)、Eq.(7)、Eq.(8)] 的變項 variables，也是用機率，條件機率來思考。但這裡的思考模型，是用 odds ratio 勝算比來思考。  

Sharpe Ratio 是夏普比率，是一項用來衡量一樣資產、一個投資組合 (portfolio)，經調整風險後的期望收益盈餘 (Excess return) 。所謂「調整風險」，就是把我們期望的收益盈餘除以風險，而這裡的風險因為要量化，所以用標準差 (standard deviation)，即波動性 (volatility) 來計算。 Sharpe ratio 是一個用來比較其他投資組合的指標。光是 Sharpe ratio 本身，就單一資產、投資組合、策略來說，其意義並不大。