展望理論 Prospect Theory (1): 價值函數 (Value Function)
展望理論 (Prospect Theory) 是由兩位以色列經濟學家，Daniel Kahneman （丹尼爾·康納曼） 和 Amos Tversky （特沃斯基）在 1979 年在 Econometrica 的學術刊物中提出的，文章題為：“Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk” （展望理論 ：風險決策的分析）。Daniel Kahneman （康納曼）更因為在此研究領域上的貢獻，獲得 2002 年諾貝爾經濟學獎。要不是Amos Tversky 在 1996 年逝世，他必定與Kahneman分享諾貝爾經濟學獎。他們的研究是關於風險決策理論 －即：展望理論，指：人在自己獲利和損失的情景下，處理風險的態度差異，以致作出不同決定。推翻了以往期望效用理論中，只看效用值來作決定。
本課題會分成六部分文章來解釋展望理論，首四部分是較為學術的基礎理論（但程度不高，屬可普遍博覽的程度），最後兩部分是實際使用：
第一部分：展望理論中的價值函數；
第二部分：展望理論中的機率加權；
第三部分：確定效應；
第四部分：參考點的影響；
第五部分：如何應用在投資上;
第六部分：股市應用 --- 違反人性的風險決策
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展望理論 (Prospect Theory) : 基礎
展望理論是指人類是非理性的，而且有損失規避的自然傾向。在作決策時，不是純粹理性地看期望值或期望效用值的高低，也非只是尋找價值或效用最大化來作決定，而是受到情景影響下的心理因素加權來作決定。那些因素包含了四大展望理論特徵，包括：
- 參考點的依賴：依賴主觀設定的參考點（隨時間、情景、遭遇影響而可以有所變動）；
- 敏感度遞減 (Diminishing Sensitivity);
- 損失規避 (Loss Aversion);
- 確定效應 (Certainty Effect);
這些因素會令人對風險處理的態度轉變，而作出一些不理性的決策 (irrational decision making)。
展望理論把期望效用理論中的機率 (pi) 和效用結果 U(∙) 優化成 w(p) is probability weighting function （機率加權函數）和 v(x) is value function （價值函數） 。
展望理論值 (PT value) 的計算公式：
展望理論值 = w(p) × v(x)
where w(p) is probability weighting function （機率加權函數）; v(x) is value function （價值函數）
把所有每個發生事件的機率加權函數 w(pi) 和價值函數 v(xi) 的乘積再加總，便可得出 PT value 整體價值模型是：
where w(p) is probability weighting function （機率加權函數）; v(x) is value function （價值函數）
- 在本部文章先解釋價值函數計算及意義分析，機率加權函數會留待第二部分文章闡述，而確定效應則會第三部分。
價值函數 (Value Function)
展望理論價值函數 (value function) 可以說是累積展望理論 (Cumulative Prospect Theory) 的核心模型。最原始的模型是：
以上方程式道出，當獲利時 (x ≥ 0)，價值函數是：
這顯示在損失時的價值函數的數值是 2.5 倍高於獲利時的同等價值。
下圖 (Figure 1) 展現了一個模擬價值涵數圖，用 value function (Y-axis) 與相對賺蝕價值 (X-axis)。在圖中，
- 縱軸向上而 v(∙) 呈正數值，對個人有正的效用值，即開心、快樂、滿足等正面感受。；而縱軸向下，v(∙) 呈負數值，對個人有負的效用值，即損失、失去、痛苦等負面感受價值。
- 橫軸是指實質相對價值，相對於 x = 0，如正數值， x > 0，就視之為獲利，由於是相對於在參考點上的 x = 0, 即 v(0) = 0，所以是「相對獲利」。相反，如負數值， x < 0，就視之為「相對損失」。
Figure 1. Prospect Theory value function 展望理論價值函數，𝛼 = 0.5；𝛌 =2.5。(Nicholas C. Barberis, Thirty Years of Prospect Theory in Economics: A Review and Assessment, Journal of Economic Perspectives, 27, (1), 2013, 173–196)
在 Figure 1 的價值函數圖可以清晰看到：
- 不對稱的 S 型，亦即獲利和損失的價值函數是不對稱。一般，人們感受損失的的震撼程度比獲利大 2 至 2.5 倍。所以在相對損失下的價值函數是比同等獲利的價值函數的變幅為大，故呈現不不對稱的 S 形狀。而這 S 的形狀是因人而異。
- 價值函數是從參考點的移動而得來的數值，並非一個絕對值。而即使是同一個人，設定不同參考點，也會有不同的 S 形狀。這就是參考點依賴 (reference point dependence)。
- 在接近參考點的左右兩旁的正負價值函數變化（斜度）是特別強，即價值小的比價值大的斜度為高，這就是敏感度遞減 (diminishing sensitivity)。
- 價值函數的斜度變化中，負的比正的斜度高。就是說，在損失下的價值函數比同等的獲利價值的價值函數為高，亦即是人們會重視避免損失多於獲利，這就是損失規避 (loss aversion)。
(1) 參考點的依賴
在展望理論中的價值函數 v(x)是一個相對於參考點的相對獲利或損失的函數，並非絕對數值。其重點在於，參考點決定了感受獲利或損失，著重價值的變化，而並非從最終淨財富的多少來決定獲利或損失。所以，價值函數是 v(x)，而非如期望效用值的 v(W+x)。即使參考點是設定在 W，價值函數也是 v(x)，因為 x 是由價值的變化來計算。
例子 (2)： Q 的資產從 3000 萬跌至 2000 萬， 而 R 的資產從 1000 萬升至 1500 萬，誰較快樂？
大多數人會說，R 較快樂，原因是參考點的設定。
Q 的參考點設定在 3000 萬時，價值函數是 v(-1000萬)；而 R 的參考點設定在 1000 萬時，價值函數是 v(500萬)。所以人們看到的資料是損失 1000 萬與獲得 500 萬的比較。不要忘記，損失的的震撼程度比獲利大 2 至 2.5 倍，而且人類有種損失趨避的傾向，就是盡可能不想有損失，即是少賺也好，也不想有損失。所以大多數人會認為 R 會較快樂。
但如果用 $0 作為參考點，Q 的價值函數是 v(2000萬)；而 R 是 v(1500萬)。結果是 Q 較快樂。現在看到的畫面卻完全不一樣，價值函數也完全不一樣，結論當然也不一樣。結果與之前的剛剛相反。
參考點是可以變動的，可以與金錢、健康、際遇、不同情景的改變而變動參考點。 而參考點的改變是可以影響人的判斷，進而影響風險決策。
在第四部分文章，會有關於參考點設定的更深入探討：
展望理論 (4): 參考點的影響 (Reference Point Influence)
(2) 敏感度遞減
敏感度遞減是說，人們不論是獲利或損失，正負效用，對數值小的變化的敏感度是高於數值大的變化。當數值小時，價值函數 v(x) 的變化特別大，斜度也很大。隨著數值愈來愈大，價值函數的變化會變得愈來愈少，斜度也放平。這現象跟「邊際效用遞減」相似，獲利或損失的「邊際價值遞減」。在正效用時，「邊際價值遞減」的幅度較大，價值函數的斜度較平。但是在負效用時，「邊際價值遞減」的幅度較少，價值函數的斜度較高，這是損失規避。
例子 (3)：
A: 25% 可以損失 $6,000 ;
B: 25% 損失 $4,000；25% 損失 $2,000
例子 (4)：
C: 25% 可以獲得 $6,000 ;
D: 25% 獲得 $4,000；25% 獲得 $2,000
在例子 (3)，大多數人會選 A；在例子 (4)，多數人會選 D。原因也是敏感度遞減。
例子 (3)： 0.25 v(-6000) > 0.25 v(-4000) + 0.25 v(-2000)
例子 (4)： 0.25 v(6000) < 0.25 v(4000) + 0.25 v(2000)
在例子 (3)，因為人們看損失 $4,000 或 $2,000 比損失 $6,000 更敏感，即是 0.25 v(-4000) + 0.25 v(-2000) 得出來的負數比 0.25 v(-6000) 的負數更大（更負），所以損失 $4,000 或 $2,000 的價值函數比損失 $6,000 更大。基於人有損失規避的傾向，所以多數人會選 A。
而相反，在例子 (4)，人們看獲得 $4,000 或 $2,000 比獲得 $6,000 更敏感，所以多數人會選 D。
敏感度遞減與風險態度
以上兩個例子說明，人們看價值變化時的敏感度，不是以線性地增減，而是隨著價值的增加而減少敏感度。而因為敏感度遞減，人會對風險的態度在損失或獲利時有所差異。
在高機率情景下：
- 在損失時，人會較偏好風險 (Risk seeking)；
- 在獲利時，人會較規避風險 (Risk aversion)。
例子 (5)：
A: 80% 可以獲得 $8,000 ;
B: 100% 可以獲得 $3,000
例子 (6)：
C: 80% 可以損失 $8,000 ;
D: 100% 可以損失 $3,000
在例子 (5)，在獲利時，多數人會選 B；在例子 (6)，在損失時，多數人會選 C。
雖然選項 A 的效用值比 B 的效用值為大，但是人在獲利時，會較為規避風險，加上 B 的 100% 機率，就是確定效應高估了結果總值的傾向，以致多數人寧願選效用值較少的 B（即：0.8 × 8000 < 1.0 × 3000)。
在損失時，例子 (6)，人會較為偏好風險，所以會有較多人選擇金額較大但機率較少的 C，而非金額較少的肯定損失（即：0.8 × -8000 > 1.0 × -3000)。。
可是這個風險態度也跟機率的多少相關，以上的一般觀察，只限於高機率情況。而其他情況則在第二部分文章說明。
(3) 損失規避
在 Figure 1 的價值函數圖，在正效用時，敏感度遞減的幅度較大，價值函數的斜度較平。但是在負效用時，敏感度遞減的幅度較少，價值函數的斜度較高，這是損失規避。也因為損失規避，形成了價值函數圖的正負兩邊的不對稱性很強。也就是說，人們對負面的刺激的敏感度高於正面的刺激。
用實驗數據， 以上的價值函數 (value function)的模型可重塑為：
where 𝛼 涵數是 0.88；𝛌 是 2 至 2.5 倍的中位數 = 2.25。 v(0) 仍然是 0。
例子 (7)：
A: 100% 獲利 $100 ;
B: 100% 損失 $100
這說明，同樣大小的金額在獲利和損失時，人們在心裏計算的價值是不一樣的。同樣的 100 元，在人們的心裏，獲利時的價值函數是57.54；但在損失時，卻有多於兩倍的損失感而得出價值函數 -129.47。很明顯，損失對人帶來的痛苦感比獲利時帶來的快樂感為大。所以，人會避免損失而造成損失規避。
人們到底有多害怕損失，那就是依賴他以前的經驗及其身處的現況，這是與參考點設定有關。舉例，某某之前賺了大筆錢，他會比其他沒有賺錢的人和虧錢的人較少程度損失規避。因為參考點設定在未有賺錢之前；但如果他的參考點設定在賺錢之後，那就跟其他人無異。相反，虧錢的人，多數會把參考點設定在虧錢之後，那便令他更加規避損失。對小數值的損失也相當敏感，而得出相對大的負價值函數。
一次性的獲利或損失 vs 兩次的獲利或損失
以上的價值函數 (value function)模型也可以用來解釋，對於同等價值而言，到底一次性的獲利還是分兩次的獲利會較愉快？一次性的損失還是分兩次的損失會較痛苦呢？
例子 (8)： 一次性獲利 $200 vs 兩次獲利 $100
例子 (9)： 一次性損失 $200 vs 兩次損失 $100
從以上兩個例子可見，對於同等價值 200 元，不論是獲利或損失，分兩次得出的價值函數也高於一次性的價值函數，這代表兩次獲利 $100 的快樂感比一次獲利 $200 為高，而兩次損失 $100 比起一次性損失 $200 更為痛苦。原因是分兩次的獲利或損失，第二次的參考點是基於第一次的得失而移動，而且其移動速度快。
(4) 確定效應
因篇幅所限，機率加權函數會留待第二部分文章，而確定效應則會第三部分文章闡述：
References
Nicholas C. Barberis, Thirty Years of Prospect Theory in Economics: A Review and Assessment, Journal of Economic Perspectives, 27, (1), 2013, 173–196
Nicholas Barberis and Ming Huang, Stocks as Lotteries: The Implications of Probability Weighting for Security Prices, American Economic Review 2008, 98, (5), 2066–2100.
友野典男，有限理性： 行為經濟學入門首選，大牌出版。
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