機率思維 | 蒙堤霍爾困境 (Monty Hall Problem)
誤解：很多人會認為，既然 Z 門後沒有獎品，剩下來的 X、Y 門後有獎品的機率是各 1/2。換門沒有增加獲獎機率，於是大多數人也選擇不換門。
答案：這個 1/2 機率似乎合理，但關鍵資訊是：節目主持人是事先知道獎品是放在哪扇門後，即是說：他開的門必然是沒有獎品的哪扇門，他才會可以問你是否選擇換門。
- 一開始，X、Y、Z 門後有獎品的機率是各 1/3。
- 你選擇了 X 門。
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Scenario 1： 你選了 X 門，X 門後有獎品，Z 門打開
Figure 2. Decision tree of choosing Door X if Door X gets a reward. Probability is in parenthesis.
A：你選了 X 門，X 門後有獎品 (X= True)，Z 門打開
B：你選了 Y 門，Y 門後沒有獎品 (Y= Wrong)，Z 門打開
你選對的機率 = P(X=True | Z open):
⇒ 你選錯的機率 = P(X=Wrong | Z open):
結果：應該是要換門；
因為：
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Scenario 2： 你選了 X 門，Y 門後有獎品，Z 門打開
假設 Hypothesis B： 你選了 X 門，Y 門後有獎品 (X= Wrong)，Z 門打開
A：你選了 X 門，X 門後沒有獎品 (X= Wrong)，Z 門打開
B：你選了 Y 門，Y 門後有獎品 (Y= True)，Z 門打開
你選錯的機率 = P(X=Wrong | Z open):
B：你選了 X 門，Y 門後有獎品 (Y= True)，Z 門打開
⇒ 你選對的機率 = P(X=True | Z open):
結果：應該是要換門。
原因：跟上面一樣
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友野典男在他的著作＜有限理性＞提供一個超簡單的解釋：
- X 門後有獎品的機率 = 1/3，
- 那麼，Y 門或 Z 門後有獎品的機率 = 1 - 1/3 = 2/3。
- 現在知道 Z 門後是沒有獎品，即 Y 門後有獎品的機率 = 2/3。
所以，結果是：應該是要換門。
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改變關鍵訊息：主持人事前不知道
這個「應該要換門」的結論，是基於主持人是事先知道哪扇門後有獎，而有心不開哪扇有獎的門。
假設，那主持人是不知道哪扇門後有獎，而隨意選擇開哪扇門，而他開的門是有機會是有獎的。現在他亦開了 Z 門，那麼，你是否再選擇換門呢？
答案：
你選對的機率 = P(X=True | Z open):
結果：沒有必要換門。
因為：換門不能增加你得獎機率
結語
這個 Monty Hall Problem 看似很難懂，實質是大多數人也忽略了一個重要關鍵，就是「那主持人是事先知道哪扇門後有獎，而有心不開哪扇有獎的門」。這個關鍵影響了機率的計算。相反，如果那主持人是事前不知道哪扇有獎的門而隨意開的話，結果是我們的 common sense 的選擇。Monty Hall Problem 的設計是為了設下陷阱讓人墮入。
References
友野典男，有限理性： 行為經濟學入門首選，大牌出版。
石井俊全，統計學關鍵字典，楓葉社， Unknown year。
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