我的書架 | 有限理性 (1): 機率究竟怎理解？
＜有限理性：行為經濟學入門首選＞，作者：友野典男
作者友野典男在書中寫出行為經濟學的原由、重點、理性決策的困難、捷思與偏誤、展望理論、機率的誤解。我在 2021 年已看畢這本書，我認為友野能把較複雜的展望理論、貝氏定理、賽局理論、機率和捷思簡化，及用淺白的數學來解釋這些理論是我非常欣賞的地方。
這本書能協助讀者快速拿揑何為捷思與偏誤，如何避免用捷思與偏誤來作決策，明白應該如何運用機率來正確思考。所以，如果你是對行為經濟學有興趣，又想明白一些基礎知識，我是十分推薦這本書。
我會把這個題目分為五部分：
我的書架 | 有限理性 (2): 捷思 (Heuristics) 與偏誤 (Biases)
我的書架 | 有限理性 (3): 框架效應 (Framing Effect)
我的書架 | 有限理性 (4): 心理帳戶 (Mental Account)
我的書架 | 有限理性 (5): 雙曲折現 (Hyperbolic Discounting)與現時偏誤 (Present Bias)
機率思維 | 蒙堤霍爾困境 (Monty Hall Problem)
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機率的誤解
背景：Peter 家中有兩個孩子，但你不知道是男是女。
- 問題 1 - 3 的背景相同
問題 1：
某天，你問 Peter：「你家有女兒嗎？」，他答：「有」。那你估計 Peter 的另一個孩子也是女兒的機率是多少？
- 誤解：很多人會認為另一個孩子也是女兒的機率是 1/2，因為世上只有男或女的兩個生理性別。
- 答案：正確的機率是 1/3。
- 解釋：列出兩個孩子的男女組合：女女、女男、男女、男男。各有 1/4 的出現機率。
從 Peter 提供的資訊：「你家有女兒」，那麼「男男」的出現機率 = 0，我們便可以把它刪掉。剩下來的可能組合是：女女、女男、男女，各出現機率 = 1/3。
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問題 2：
某天，你問 Peter：「你家最大的是女兒嗎？」，他答：「是」。那你估計 Peter 的另一個孩子也是女兒的機率是多少？
- 誤解：很多人會認為問題 1 和問題 2 是一樣，所以答案也是 1/3。
- 答案：正確的機率是 1/2。
- 解釋：這裡的的資訊是：「最大的是女兒」，列出「女兒是大女」的男女組合，只有兩個：女女、女男。所以，各出現機率 = 1/2。
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問題 3：
某天，Peter 帶他的女兒參與聚會，那你估計 Peter 的另一個孩子也是女兒的機率是多少？
- 誤解：雖然你得到的資訊跟問題 1幾乎一樣，你會以為答案也是 1/3。
- 答案：正確的機率是 1/2。
- 解釋：這裡的的資訊是：「其中一個是女兒」，友野典男的解釋是：其中一個是女兒，所以另一個不是男便是女，機率是 1/2。
我在下面提供一個較全面的闡述 (see Figure 1)：
資訊是：「其中一個是女兒」，可能性是她可能是大女或細女，所以男女組合會是：
Figure 1. Probability of finding the other child is a girl, given that one of the children is a girl.
Hypothesis A： 女兒是大女，組合：女男、女女，各出現機率 = 1/2。
Hypothesis B： 女兒是細女，組合：男女、女女，各出現機率 = 1/2。
而 Hypotheses A 和 B 是互斥 (mutually exclusive)，各出現機率 = 1/2。
所以，另一個也是女，即求「女女」的機率：
P(女女) = 1/2 × 1/2 + 1/2 × 1/2 = 2/4 = 1/2
所以，答案是 1/2。
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另類問題
問題 4：
在法庭上，有一件交通意外案件正在審理。案件是：⼀輛汽⾞在雨夜肇事，現場有⼀個⽬擊證⼈說：「我看⾒該⾞是藍⾊」。律師找到以下資料：
- 該⽬擊證⼈，在雨夜能識別藍⾊和綠⾊⾞的準確率是 80%；
- 該地點的⾞輛，有 85% 是綠⾊的， 15% 是藍⾊的。
問題：那輛肇事⾞輛是藍⾊的機率有多⼤？
- 誤解：很多人會認為，⾞輛是藍⾊的機率是 80% × 15%，所以答案是 12%。
- 答案：正確的機率是 41%。
- 解釋：
- 顏色識別的準確率是： 80%
- 顏色識別的錯誤率是： 1 - 80% = 20%
- 真實是藍色⾞，真的認出是藍色⾞的機率 = 80% × 15% = 0.12
- 真實是綠色⾞，但被錯看成藍色⾞的機率 = 85% × 20% = 0.17
- 要計算那輛肇事⾞輛是藍⾊的機率，應該把有可能錯誤被認出是藍色⾞的機率包含在內，得出一個藍色⾞的總機率（放在分母)，計算如下：
所以，那輛肇事⾞輛是藍⾊的機率大概是41%。
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如果，資料沒有提供其他顏色車的機率，只有藍⾊車在該地點的的機率為 15%。而該⽬擊證⼈在雨夜能識別藍⾊⾞的準確率仍是 80%。
問題：那輛肇事⾞輛是藍⾊的機率有多⼤？
答案：⾞輛是藍⾊的機率仍是 41%。- 解釋：
- 真實是藍色⾞，真的認出是藍色⾞的機率 = 80% × 15% = 0.12
- 真實是不藍色⾞，但被錯看成藍色⾞的機率 = 20% × (1 - 15%) = 0.17
- 計算公式跟上面一樣。
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交集偏誤 (Conjunction Fallacy)
在計算機率時，有一項規則叫「交集規則」。違反了這項規則叫「交集偏誤」(Conjunction Fallacy)。
交集規則是指：
假設，事件 A 和 事件 B 能同時發生，而它們同時發生的機率，是不可能高於它們各自單一發生的機率。
例如：今天你回公司第一個碰見的人是男人，並且他是帶著小孩在身旁的機率，是不可能高於你回公司第一個碰見的人是男人的機率，或那人是帶著小孩在身旁的機率。
References
友野典男，有限理性： 行為經濟學入門首選，大牌出版。
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