機率思維 | 黑天鵝事件及肥尾效應

筆者在之前的文章已介紹過何謂「肥尾曲線」。現在寫的是， 怎樣理解股市的肥尾曲線分佈？和肥尾曲線可能帶來的風險？

在探討肥尾風險前，先看上一篇文章介紹的幾個機率理論：

機率思維 | 大數法則, ⼩數定律, 賭徒謬誤, 墨菲定律

其中，大數法則與墨菲定律，在這裡論的肥尾風險及黑天鵝效應是有密切關係。

 

肥尾效應

肥尾效應是指稀有事件發生的頻率（或機會），比常態分佈 (Normal Distribution) 為高。因為肥尾曲線分佈的兩極的極端發生的機率（即曲線的兩極的高度）是較高。

在肥尾曲線分佈的兩端值，因為是厚尾而且沒有上限，所以我們預期極端事件的發生會較多。事件愈多，曲線的尾部就愈長。而且，根據墨菲定律及大數法則，我們知道那些極端事件，在未來是幾乎必然會發生，我們只是不知道何時。

這可以理解成：

• 股市：肥尾分佈
• 日常生活：常態分佈

不太可能出現事件的機率會提升；即是，你以為不太可能出現事件比你平常想像為高和頻繁。 在股市上，極端事件（如：崩盤、熔斷、超買）發生的機率會比我們想像為高和頻繁。也就是說，任何狀態下，縱使股市多健康，也有崩盤的可能，這就是肥尾風險。只要時間愈長，發生的機率就增加。 

 

常態分佈

• 𝜇 ± 𝜎 ：佔總體的 68.2% ⇒  P = 0.682  ⇒  即：68.2% 的發生機率，會落入 𝜇 ± 𝜎 之內。
• 相反：31.8% 的機率，會不在 𝜇 ± 𝜎 之內。
• 因為常態分佈是對稱的，即也可說：
• 15.9% 的機率，會大於 𝜇 + 𝜎；和 
• 15.9% 的機率，會少於 𝜇 - 𝜎。
• 𝜇 ± 2𝜎 ：佔總體的 95.4% ⇒  P = 0.954 ⇒  即：95.4% 的發生機率，會落入 𝜇 ± 2𝜎 之內。
• 相反：4.6% 的機率，會不在 𝜇 ± 2𝜎 之內。
• 亦即：
• 2.3% 的機率，會大於 𝜇 + 2𝜎；和 
• 2.3% 的機率，會少於 𝜇 - 2𝜎。
• 𝜇 ± 3𝜎：佔總體的 99.7% ⇒  P = 0.997  ⇒  即：99.7% 的發生機率，會落入 𝜇 ± 3𝜎 之內。
• 相反：0.3% 的機率，會不在 𝜇 ± 3𝜎 之內。
• 亦即：
• 0.15% 的機率，會大於 𝜇 + 3𝜎；和
• 0.15% 的機率，會少於 𝜇 - 3𝜎。

從常態分佈得出這些機率可見，兩邊值會指數地下降 (exponentially decline) 至 0，而且兩邊下降較肥尾分佈為快。所以常態分佈又被稱為「薄尾」 "thin-tailed"。其極端值很小，即是說，極端事件發生機率也很小。

Figure 1. Normal distribution (常態分佈). (Wayne W. LaMorte, Characteristics of a normal distribution, Boston University School of Public Health, https://sphweb.bumc.bu.edu/otlt/MPH-Modules/PH717-QuantCore/PH717-Module6-RandomError/PH717-Module6-RandomError5.html) 

 

 

肥尾分佈

肥尾分佈的事件有兩個特徵

1. 罕見
2. 極端事件 (e.g. 恐怖襲擊 ) 

 

股市分佈帶出兩個訊息

林江在＜躺著也賺錢＞一書，找出股市分佈（即：肥尾分佈）有兩個訊息：

1. 股市分佈比常態分佈更集中於中央位置，即是投資者的績效趨於平均值。這代表大部分人也無法超越大市。
2. 股市分佈肥尾末端下降得較慢，即是仍有一定數量的投資者績效能超越（和低於）平均值。例如，巴菲特能長期獲利。

 

怎樣知道股市是肥尾分佈？

股價的一天波動，一般會落在 0.5% 至 1% 的正負區間波動。而一天內有 10% 至 20% 的正負區間波動，則較不可能。

這個是只是我們一般想像（用常態分佈邏輯想像）的發生機率。理論上，單日內股價下跌 10% 的頻率，是 500 年一遇。但實際上，這個「下跌 10%」的單日股價波幅，是 5 年一遇。

這正反映股市不是我們想像的，不是順從常態分佈，而且極端事件（或出乎意料的事件）發生的頻率是較一般想像為高，也是不可預測的。

• 因為極端值 (最大值和最小值)出現頻率較高，而且數據罕有，這導致一般使用的敘述統計數值 (Descriptive statistics: standard deviation, mean, median) 在肥尾分佈中不能使用。

• 更糟糕的是，中央極限定理 (Central Limit Theorem) 在肥尾分佈中也不是恆能成立，也就是說，即使再多的樣本 (Sample Size, N)，其曲線分佈也不會一定向中值靠攏（但有時也會的）。
  

所以，肥尾分佈內的極端值是不能像成和其他常態分佈的事件一樣，可以用歷史數據計算及預測。

極端事件的發生是不可控的風險，如：未知何時會發生的何種事件的嚴重性。這裡的「未知」、「何時」、「何種」、「嚴重性」，都是不可預測，所以都是不可控的風險。

當極端事件的發生時，我們會想原因，例如：當股價大幅波動時，肯定是有些剌激市場的新資訊流出。我們自以為想到的原因，其實，根本不是原因。

黑天鵝效應

黑天鵝效應是指一些極不可能發生、罕見的事，卻在實際上發生的頻率比人想像為高而且影響力大。

黑天鵝事件都有以下特質：

黑天鵝事件都是：

• 被理解為離群值 (outlier)： 因為這些事件都不在人們過去的歷史發生過，所以都不存在人們的期望範圍內。
  
• 或被理解為極端值 (extreme values)：在曲線分佈內的最大值或最小值。人們過去曾經發生過，因罕見，所以被視為極低可能會在未來發生。
• 有重大影響力：這是黑天鵝事件的特徵，一般非常震撼。
• 極不可能發生、罕見的事
• 不可預測的
  

黑天鵝事件是在肥尾曲線分佈的極端值。黑天鵝的事例，如：9-11 事件、南亞海嘯、金融海嘯、等等。

我們不能只看機率來作決策，因為單靠機率本身得出的結論，可能會成為自己的決策誤區：

• 高估成功的機率，低估風險的可能。估計機率本身就巳經有＜機率加權＞造成的認知偏誤。而且， 
• 以為某事是低機率，便等同零機率，以為永遠不會發生而構成的安全感和過度自信是非常危險。

這些都是我們最大的決策誤區。

例如： 某球隊估計會 99% 勝出；1% 輸掉

用機率思維，當然絕大多數人會估他們會贏。但是，只要不是 100% 勝出，即使輸掉的機率再低，他們仍然有機會輸掉。如果結果是他們真的輸掉球賽，那就是輸給運氣，只好認命了嗎？ 

除了看機率，看運氣，我們也可以：

(a) 檢視自己在認知上，假設上，預測機率上，有沒有出錯？有沒有什麼教訓可以汲取，來改善自己未來的預測準確度？然而，我們只能盡力就已知的範疇作改善，的確有時候是，盡了全力也是輸給運氣。

(b) 為「未知」、黑天鵝事件等風險作好準備。

我們可以預測，也可以防避，兩者可以同時進行。

 

延伸文章：

貝氏定理 (1): 理論 (Bayesian Theorem)

我的書架 | 思考的框架 (2b): 機率思考 - 肥尾曲線 (Fat-tailed Distribution)

我的書架 | 思考的框架 (2a): 機率思考 - 貝氏思維 (Bayesian Thinking) 

機率思維 |如何處理風險?

Reference

 林江，躺著也賺錢，筆求人。

 

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