貝氏定理 (2): 應用例子
Bayesian Theorem: Examples
從上一篇貝氏理論 (1)中， 有兩個概念沒有說明，但又十分重要，要分清楚 (figure out) 的：(i) Event 事件；(ii) Condition 條件。
在表達條件機率時，要留意：
- P(Event D | Condition A) ，即代表：在 A 條件下，發生 D 事件的機率是多少；
- 不要混淆 P(Event A | Condition D) 。這代表：在 D 條件下，發生 A 事件的機率是多少。
反向謬誤 (inverse fallacy) 就是指，人們經常把上面兩者混淆，而錯誤地認為它們的機率必然相似甚或等同。
例如：
- P(Breast cancer before 80 yo | BRACA2 genes mutation) 代表：在 BRACA2 基因突變的人當中（條件），在 80 歲前患有乳癌的機率是多少（事件）；
- 不要混淆 P(BRACA2 genes mutation | Breast cancer before 80 yo)！這是指：在 80 歲前患有乳癌的病人之中（條件），有 BRACA2 基因突變的機率是多少（事件）。
- 前者比後者的機率高出至少 8 倍！ 因為患有乳癌的病人，不一定是有 BRACA2 基因突變。
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例子 1：
在某醫生診所內，如果想找出在有吸煙習慣的病人中，有多少人是有心臟病的？
Event：有心臟病 (D)
Condition：有吸煙習慣 (A)
假設：
從以往數據得知，
- 有 10% 的病人是有心臟病的。
P(D) = 0.1
- 而有 5% 的病人是有吸煙習慣的。
P(A) = 0.05
- 而有心臟病的病人中，有 7% 是有吸煙習慣的。這時，有心臟病 (D) 是 Condition，有吸煙習慣 (A) 是 Event。意思是： Among those who have heart disease (D), how many percentage of them are smokers (A)?
P(A | D) = 0.07
運用上一篇貝氏理論規則 (Bayes Rule) 的 Eq. (3)：
可以算出：「在有吸煙習慣的病人中，有心臟病的機率」，即是： Among those smokers (A), how many percentage of them have heart disease (D)?：
P(D | A) = P(A | D) × P(D) / P(A)
P(D | A) = 0.07 × 0.1 /0.05 = 0.14 = 14%
答案是 14%。
要留意，在這例子中，我們並沒有考慮到心臟病的診斷測試中的敏感度 (sensitivity)，及錯誤診斷率 (False positive rate or False alarm rate) 的機率計算在內。
例子 2：
孕婦生產有唐氏綜合症 (Down’s syndrome)嬰兒的機率是 0.15% (Prevalence)。
- 超聲波檢查的敏感度是 80%：那就是，超聲波檢查出孕婦真的懷有患唐氏綜合症嬰兒的準確率是 80%。
- 但超聲波檢查出的錯誤的機率是 8%：那就是說，超聲波檢查雖然查出孕婦是懷有患此症的嬰兒，但事實卻沒有。這個機率是 8%，這就是 False Positive。
筆者可以跟你說，大多數人看到這裡會說，「當測出是 Positive 時，很大機會是真的患有此症」。甚至，有人會說，「測出 Positive 時，是有 80% 機率患上」，以致驚惶失惜。可是，答案可能嚇你一驚！
答案：
Given （已知資訊）:
- Prevalence of Down’s syndrome （唐氏綜合症發病率） = 0.15%；
- Test sensitivity （檢查的敏感度）= 80%；
- False Positive rate （檢查的錯誤正機率）= 8%。
機率整合如下：
當中要小心定義，用日常的普通語言講解：
運用貝氏定理，採用公式 Eq. (8) 來解決這問題：
結果：被超聲波檢查出懷有唐氏綜合症嬰兒，而她的嬰兒確實真的患有此症的機率是 1.48%。
圖象化的思維 (Graphical Representation)
另一個方法，用圖象化的思維去思考這機率關係：
假設：Population N = 10,000 人
做法：用圖象協助思考，再用假設人數算機率
結果：被超聲波檢查出懷有唐氏綜合症嬰兒，而她的嬰兒確實真的患有此症的機率是 1.48%。
頻率思維 (Frequency Representation)
這個貝氏思維，在 Kurzenhäuse & Hoffrage (2002) 的一個研究結果發現，當教導醫科學生去用人類經常用的「自然頻率 (natural frequency) 思維」去想 Bayesian reasoning 時，過程是比較容易。
那個「自然頻率思維」，就是 Figure 1 所描述的 。這個方法是由 Gigerenzer & Hoffrage (1995) 提出的，他們發現人類的大腦思維 (mental algorithm)，是不曉得用 probability 或 percentage 來思考，而是用頻率的來思考。例如，這個朋友是可信，那個朋友是不可信。人們一般不會想，這個朋友有 80% 可信，那個朋友只有 10% 可信。這個就是人類的思考模式。
在普通人 (lay people) 身上，Kurzenhäuse & Hoffrage (2002) 可以觀察到，用頻率去思考貝氏定理的問題較容易，因為自然頻率的思考模式可以包含了 base rate 等較易被人忽略的資料。
意思是說，在心裡想像，用以下的四個步驟來計算 (Kurzenhäuse & Hoffrage, 2002) ：
- 首先，假設 population有 10,000 嬰兒，用 Base rate (基本機率 = 0.15%) 來計算有多少嬰兒患有唐氏綜合症？即：10,000 × 0.0015 = 15 個嬰兒。亦即：Prevalence。
- 在患病的 15 個嬰兒，用檢查的敏感度 (80%) 來計算有多少嬰兒被檢出？即：15 × 0.8 = 12 個嬰兒。
- 有多少嬰兒被檢出有病，但實際是沒有病？用剩下的沒有病的嬰兒 (10,000 - 15 = 9985 個嬰兒) 內，用檢查的錯誤正機率 (8%)，來計算：9985 × 0.08 = 798.8 ~799 個嬰兒。
- 總共有多少嬰兒被檢出為正：12 + 799 = 811 個嬰兒。在被檢出為正嬰兒中，有多少嬰兒是真的患病的機率？ 12 / 811 = 0.0148 ~ 1.48%。
其實，筆者認為多數人覺得較容易的、較少機會出錯的方法，對個別人仕來說，不一定就是最好的方法。就像筆者這個 outlier 來說，probability approach 是較為適合、較為容易。可是，能學懂另一個方法（自然頻率思維）可以 cross check 自己的計算結果，也是值得做的。
對筆者來說，這種「自然頻率思維」與圖象化思維 (Figure 1)是同一樣的思維概念。分別在於筆者的 Figure 1 是強調圖象拆解，而 Kurzenhäuse & Hoffrage (2002) 是強調資訊上的直線思考路徑。筆者會把「兩種」方法說成同一種方法。
兩個方法得出的結果都是一樣，被超聲波檢查出懷有唐氏綜合症嬰兒，而她的嬰兒確實真的患有此症的機率是 1.48%。這個結果，比開始時想像的 80% 少了 53 倍。關鍵在於，此病的極低發病率 (low prevalence)，即是極低的基本機率 (Base rate)。
當測出是 Positive 時，多數人會覺得「一定患病」的心理，是由於被那「80% 檢測敏感度」的數字蒙弊了腦袋。這是一種認知偏誤 (Cognitive bias)：基本機率忽視 (Base Rate Neglect)。我在之前的＜我的書架 | 思考的框架 (2a): 機率思考 - 貝氏思維 (Bayesian Thinking)＞已簡單說過。
所以，當要做決策時，用貝氏定理拆解箇中真正的發生機率，不要被那些駭人的資訊庶弊。但是，很多情況下，很難直接計算新信念。這個問題，我會容後再談。
貝氏定理的相關文章講述：
我的書架 | 思考的框架 (2a): 機率思考 - 貝氏思維 (Bayesian Thinking)
貝氏定理 (1): 理論 (Bayesian Theorem)
貝氏定理 (3): 貝氏因子 (Bayes Factor): 你的證據夠強嗎?
貝氏定理 (4): 貝氏規則的可能性機率 (Likelihood in Bayes Rule)
貝氏定理 (5): 貝氏更新 (Bayesian Updating)
貝氏定理 (6): 貝氏網絡 (Bayesian Network)
貝氏定理 (7): 事後機率分布最大概似估計法 (Maximum a Posteriori Estimation, MAP)
貝氏定理 (8): 事前資訊質素的影響 (Prior Informativeness)
Reference
Stephanie Kurzenhäuse, Ulrich Hoffrage (2002), Teaching Bayesian Reasoning: An Evaluation of a Classroom Tutorial for Medical Students, Medical Teacher, 24 (5) , 516-521.
Gigerenzer & Hoffrage (1995), How to improve Bayesian Reasoning Without Instruction: Frequency Formats, Psychologyical Review, 102, pp. 687-704.
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