期望值理論: 投資額計算
在 <機率思維 | 貝氏定理 (1): 理論 (Bayesian Theorem)> ，我們知道不同的人面對一樣的消息，有著不一樣的信念；而基於不同的信念，我們應該怎樣去投資而不會有太大的損失呢？
我們在決策時，務必要用最少的資金，把期望值最大化。
我在 < 風險決策的兩個理論: 期望值 & 期望效用> 已列出過以下公式及計算概念：
期望值 = 機率 × 價值 Eq. (1)
總期望值 = ∑機率 × 價值 Eq. (2)
where 價值 (V) = 收益 (E) -本金(C)
亦即是：
總期望值 = 贏的期望值 - 虧的期望值 Eq. (3)
- 值博的總期望值 ≥ $0
- 即是要：總期望值 ≥ $0 ⇒ 贏的期望值 > 虧的期望值
- 風險較低的總期望值 ≥ 本金
以下就是在 <機率思維 | 貝氏定理 (1): 理論 (Bayesian Theorem)> 的例子:
例子：球賽
某球隊以往在 2003 年曾經勝出國家賽事， 這個是歷史事件，沒有什麼不確定性。現在，這球隊在競爭今年 2022 年國家賽事冠軍。 Tom 認為這球隊將會勝出的信心有 75%，而 Peter 則只有 20%。
Peter 的 Prior Belief: P(A| K') = 0.20
Tom 的 Prior Belief: P(A| K) = 0.75
問題：
Peter 和 Tom 如果也想下注賭博球賽，該球隊勝出會賠率是 $1: $500。 Peter 信心很少、較悲觀，但仍願一博，只期望不虧本。而 Tom 卻有較強的信心，自信地認為該球隊會勝出。如果他們也期望可以從該賭博中，一次過贏取淨利 $50,000。那麼，Peter 和 Tom 各自可以下注多少呢？
答案：
如果 Peter 想臝取淨利 $50,000，他的最低下注額是多少？
因為賠率 = 1: 500；即：實質收益是等於本金的 500 倍 = C × 500
即是：E = 500 C
Peter 最低下注額是:
Peter 的信心只有 20%
贏的期望值 = 0.20 [收益 (E) -本金(C)] = 0.20 [500 C - C]
虧的期望值 = 0.80 (本金(C))
By Eq. (3): 贏的期望值 - 虧的期望值 = 總期望值
Peter 期望得到的淨利潤是 $50,000，即設總期望值 = $50,000
0.2 (500 C - C) - 0.8 C = $50,000
C = $505.01
結果：
- 如果 Peter 的 Prior Belief 是正確，他可以下注的最低本金是 $505.01 才會贏 $50,000。
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如果 Tom 想臝取淨利 $50,000，他的最低下注額是多少？
因為賠率 = 1: 500；即：實質收益是等於本金的 500 倍 = C × 500 = $50,000
即是：E = 500 C
Tom 的信心有 75%
贏的期望值 = 0.75 [收益 (E) -本金(C)] = 0.75 [500 C - C]
虧的期望值 = 0.25 (本金(C))
By Eq. (3): 贏的期望值 - 虧的期望值 = 總期望值
Tom 期望得到的淨利潤是 $50,000，即總期望值= $50,000
0.75(500 C - C) - 0.25 C = $50,000
C = $133.69
結果：
- 如果 Tom 的 Prior Belief 是正確，Tom 可以下注的最低本金是 $133.69 才會贏 $50,000。
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總期望值
要留意，這裡說的總期望值不是指最終能獲取的價值，而是相比輸的期望值，淨贏的期望值有多少。
如 Tom 真的下注 $133.69 ，贏的期望值 是 $50,033.4，輸的期望值是 $33.4 ，那麼總期望值便是 $50,000。
假設 Tom 真的贏了這次賭博，他可獲 $133.69 × 500 賠率 = $66,845 ，減去本金 $133.69，淨利等於 $66,711.3 。這是高於他期望可獲的，把機率納入是否值博的考慮，是個較安全的計算方法。
如果只以賠率計算，不理機率的話，：
C × 500 - C = $50,000
C = $100.2
這樣 Tom 應該付 $100.2 本金去搏取 $50,000，這樣當然會比用總期望值計算的 $133.69 少 $33.49，因為是變相假設 100% 勝率，沒有輸的可能。
如果不計賠率，只計機率的話，以贏 取 $50,000 為目標，Tom 的最高投資額：
0.75 ( $50,000 - C）- 0.25 C = 0
C = $37,500
這樣 Tom 應該付 $37,500 本金去搏取 $50,000，這是假設賠率 1:1。所以 Tom 下注任何 $37,500 以下也可以贏錢。
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勝率 vs 賠率分析
從 Table 1 可以看出：信心愈少，下注的金額要愈大，才可獲得同等期望值。亦即，同等下注額，信心較少的，獲得的金額會較少。相反，若是信心愈大，下注的金額該應要愈大，來搏取愈大收益。
在這場賭博中，因為賠率有 500 倍之高，只要有下注，那怕只是 $1，總期望值也能大於零（因為賠率高，贏的期望值怎樣也大於虧的期望值，所以無論怎樣也值得下注）。所以，在這個誇張的例子（500 倍賠率），關鍵不在於憑主觀判斷的機率，而是賠率。試看下面 Table 2，在大幅降低賠率後，總期望值的比較。
Table 2. Comparison of the Expected Value with different odds between Tom and Peter.
從 Table 2 看到，在大幅降低賠率後，勝率的影響會更顯著。
Tom 因為有強信心、高勝率，在大幅降低賠率至2 到 4 倍後，總期望值還是正數，所以還是值博。如要總期望值高於本金，賠率得要在 3 倍或以上。
至於 Peter，因為他的勝率低，只有 1/5（20%)，在賠率只有 2 到 4 倍的賭局中，任何注碼得出的總期望值也是負數，所以不值博。其實，如果 Peter 只有 20% 信心球隊會贏，他應該是不下注，畢竟他有 80% 虧本機會。要抵消這個低勝率的影響，賠率要達最少 6 倍， 總期望值才會是正數。
註：另一個較為廣泛討論的理論是凱利公式，是關於在賠率和勝率影響下，計算下注比例的理論。我有時間或許會稍後發文。
結語
期望值理論本來是用來計算決策的工具，我在本文章不單利用它來決定是否行動，並利用它來計算投放多少資本。在決策時，務必要用最少的資金，把期望值最大化。
以上簡單地做了一個運用期望值理論，來計算最低投資額的示範。大概明白：在超高賠率下，機率的影響變得較少或較模糊，但在低賠率下（較為貼近真實世界的情況），機率的影響會較為重要。
而機率就是 Tom 和 Peter 自己相信的勝率。最困難（或者說最易被人性阻礙）的是，我們的 Prior Belief！改變估計勝率（或主觀機率）能影響他們的最高下注金額 <Subjective Probability Estimation>。
客觀的估計勝率，可以從球隊的往績，球員、教練、每年對疊次數、休息時間等作為參數 (parameters)，來建立一套數學模型, 來估／推算 (simulate, estimate & extrapolate) 未來的勝率。
記住：數學模型只能用既有的歷史數據去 extrapolate，這是有其限制的。因為，球員是人，他們的表現高低可能與心理、個人或環境因素，甚至與人事關係有關。輸入的數據所反映的只是外在的因素，數學模型不能把內在因素納入計算，所以結果未必可信。同樣地，股市的數學模型，我們也要小心研究它是怎樣操作、假設、運用的統計分布模型、數據的年份、地域、事件、相關性、可對比性、等等。明白其結果是從什麼假設得來，才在一定範圍內 (add uncertainty) 去相信其有效性。
總之，我們一方面要小心自己「相信」的主觀機率或信念，是否被自己的 cognitive bias 影響。另一方面，也要防範那些聲稱「客觀」的數學模型得出結果的可信性。
最佳的辦法，還是隨著資訊的浮現，而不停更新我們的預測和估計，從而不斷改變或改良策略，這就是貝氏更新。
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